matematika logika

• Home
• About Me
• sitemap
• Download »
• Elektronika »
• Lain-lain
• Power

Home » Elektronika » ALJABAR BOOLEAN DAN GERBANG LOGIKA

October 29, 2010

ALJABAR BOOLEAN DAN GERBANG LOGIKA

·         Business Diagrams

·         Diagram Venn

<p>Your browser does not support iframes.</p>

Ekspresi Boolean Adalah pernyataan logika dalam bentuk aljabar Boolean.

FUNGSI BOOLEAN

Tabel 3-1 Rumus –2 pada aljabar Boolean

Contoh :
1. X + X’ .Y = (X + X’).(X +Y) = X+Y

2. X .(X’+Y) = X.X’ + X.Y = X.Y

3. X.Y+ X’.Z+Y.Z = X.Y + X’.Z + Y.Z.(X+X)’

= X.Y + X’.Z + X.Y.Z + X’.Y.Z

= X.Y.(1+Z) + X’.Z.(1+Y)

= X.Y + X’.Z

KANONIKAL DAN BENTUK STANDARD

Adalah menyatakan suatu persamaan dalam hubungan operasi AND atau OR antar variabel secara lengkap pada setiap suku. Dan antar suku dihubungkan dengan operasi OR atau AND.

Tabel 2. Bentuk Minterm dan Maxterm untuk 3 variabel biner

M I N T E R M

Adalah suku dalam persamaan yang memiliki hubungan operasi AND antar variabel secara lengkap. Dan antar suku dihubungkan dengan OR
Contoh.
Tunjukkan fungsi Boolean F = A + B’C dalam minterm
Jawab.
Fungsi mempunyai 3 variabel A,B dan C

suku pertama A = A(B+B’) (C+C’)
= ABC+ABC’+AB’C+AB’C’
suku kedua  BC  = B’C (A+A’)
= AB’C + A’B’C
Jadi penulisan Minterm untuk F = A + B’C
adalah     F  = ABC+ABC’+AB’C+AB’C’+A’B’C
= m7 + m6 + m5 + m4 + m1
Atau dapat ditulis dengan notasi
F (ABC) = ? (1,4,5,6,7)

Dan tabel kebenaran adalah sebagai berikut.

M A X T E R M

Adalah suku dalam persamaan yang memiliki hubungan operasi OR antar variabel secara lengkap. Dan antar suku di hubungkan dengan operasi AND.
Contoh.
Tunjukkan fungsi Boolean F = XY + X’Z dalam Maxterm.
Jawab.
Fungsi mempunyai 3 variabel X,Y dan Z dengan menggunakan Hk.Distributif
F = XY + X’Z = (XY + X’) (XY + Z)
= (X + X’) (Y + X’) (X + Y) (X + Z)
= (X’ + Y) (X + Z) (Y + Z)

Untuk suku 1
(X’+ Y) = X’+ Y + ZZ’ = (X’ + Y + Z) (X’ + Y + Z’)
(X + Z) = X + Z + YY’ = (X + Z + Y) (X + Y’ + Z)
(Y + Z) = Y + Z + XX’ = (X + Y + Z) (X’ + Y + Z)

Jadi dapat ditulis
F (XYZ) = (X+Y+Z) (X+Y’+Z) (X’+Y+Z) (X’+Y+Z’)
= M0.M2.M4.M5

Atau ditulis dengan notasi
F (XYZ) = ? (0,2,4,5)

Dan tabel kebenaran adalah sebagai berikut.

ALJABAR BOOLEAN DAN GERBANG LOGIKA

CONTOH.

Buatlah rangkaian dengan Gerbang Logika untuk aljabar Boolean sbb.
X . ( X’ + Y )
Jawab.

IMPLEMENTASI DEMORGAN DALAM RANGKAIAN LOGIKA

Hukum De Morgan

(A + B)’ = A’ . B’          A + B = (A’ . B’)’
(A  . B)’ = A’ + B’         A . B  = (A’ + B’)’

Posts Related to ALJABAR BOOLEAN DAN GERBANG LOGIKA

• PENYEDERHANAAN PERSAMAAN LOGIKA

DIAGRAM Adalah untuk menggambarkan prinsip atau dasar logika melalui set / himpunan. Gambar diagram Venn 1. Untuk n = 1 ?? 2. Untuk n = ...

• PETA KARNAUGH

Salah satu teknik yang paling mudah untuk penyederhanaan rangkaian logika adalah dengan menggunakan peta karnaugh. Peta karnaugh dapat digunakan untuk menyusun : Aljabar Boolean Minterm ...

• ALJABAR BOOLEAN

Aljabar Boolean merupakan cara yang ekonomis untyuk menjelaskan fungsi rangkaian digital, bila fungsi yang diinginkan telah diketahui, maka aljabar boolean dapat digunakan untuk membuat implementasi ...

• REGISTER

Fungsi register digunakan untuk menyimpan data, alamat, kode instruksi dan bit status berbagai operasi mikroprosesor. Prinsip dari register – register pada berbagai mikroprosesor adalah sama, ...

• RANGKAIAN LOGIKA KOMBINASIONAL (1/2)

[ad#adscamp] Kali ini kita akan membahas masalah Rangkaian Logika Kombinasional; - Suatu rangkaian diklasifikasikan   sebagai kombinasional jika memiliki   sifat yaitu keluarannya ditentukan   ...

Tag Cloud

·  Register domain names

·  Google register domain

Leave a Reply

Top of Form

Your email address will not be published. Required fields are marked *

You may use these HTML tags and attributes: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>

Bottom of Form

Top of Form

Masukkan alamat Email Anda untuk berlangganan Update terbaru dari Blog ini.

Delivered by FeedBurner

Bottom of Form

Recent Search

• komponen PLTG
• contoh program assembler
• contoh assembler
• Pengertian sipo
• pengertian motor DC
• pengertian sistem bilangan biner
• sensor kelembaban udara
• register siso definisi
• rangkaian ldr
• gambar jantung manusia

Popular Search

• rangkaian sensor cahaya
• rangkaian ldr
• peta karnaugh
• sensor cahaya
• pengertian motor DC
• fungsi register
• pengertian register
• jantung manusia
• Sensor Kelembaban
• rangkaian adc

Meta

• Register
• Log in
• Entries RSS
• Comments RSS
• WordPress.org

Switch to our mobile site

ALJABAR BOOLEAN

Aljabar boolean merupakan aljabar yang berhubungan dengan variabel-variabel biner dan operasi-operasi logik. Variabel-variabel diperlihatkan dengan huruf-huruf alfabet, dan tiga operasi dasar dengan AND, OR dan NOT (komplemen). Fungsi boolean terdiri dari variabel-variabel biner yang menunjukkan fungsi, suatu tanda sama dengan, dan suatu ekspresi aljabar yang dibentuk dengan menggunakan variabel-variabel biner, konstanta-konstanta 0 dan 1, simbol-simbol operasi logik, dan tanda kurung.

          Suatu fungsi boolean bisa dinyatakan dalam tabel kebenaran. Suatu tabel kebenaran untuk fungsi boolean merupakan daftar semua kombinasi angka-angka biner 0 dan 1 yang diberikan ke variabel-variabel biner dan daftar yang memperlihatkan nilai fungsi untuk masing-masing kombinasi biner.

          Aljabar boolean mempunyai 2 fungsi berbeda yang saling berhubungan. Dalam arti luas, aljabar boolean berarti suatu jenis simbol-simbol yang ditemukan oleh George Boole untuk memanipulasi nilai-nilai kebenaran logika secara aljabar. Dalam hal ini aljabar boolean cocok untuk diaplikasikan dalam komputer. Disisi lain, aljabar boolean juga merupakan suatu struktur aljabar yang operasi-operasinya memenuhi aturan tertentu.

DASAR OPERASI LOGIKA

LOGIKA :

          Memberikan batasan yang pasti dari suatu keadaan, sehingga suatu keadaan tidak dapat berada dalam dua ketentuan sekaligus.

Dalam logika dikenal aturan sbb :

¨      Suatu keadaan tidak dapat dalam keduanya benar dan salah sekaligus

¨      Masing-masing adalah benar / salah.

¨      Suatu keadaan disebut benar bila tidak salah.

Dalam ajabar boolean keadaan ini ditunjukkan dengan dua konstanta : LOGIKA ‘1’ dan ‘0’

Operasi-operasi dasar logika dan gerbang logika :

Pengertian GERBANG (GATE) :

¨      Rangkaian satu atau lebih sinyal masukan tetapi hanya menghasilkan satu sinyal keluaran.

¨      Rangkaian digital (dua keadaan), karena sinyal masukan atau keluaran hanya berupa tegangan tinggi atau low ( 1 atau 0 ).

¨      Setiap keluarannya tergantung sepenuhnya pada sinyal yang diberikan pada masukan-masukannya.

Operasi logika NOT ( Invers )

          Operasi merubah logika 1 ke 0 dan sebaliknya à x = x’

Tabel Operasi NOT                            Simbol

X	X’
0	1
1	0

Operasi logika AND

¨      Operasi antara dua variabel (A,B)

¨      Operasi ini akan menghasilkan logika 1, jika kedua variabel tersebut berlogika 1

Simbol                                                       Tabel operasi AND                              

                                                                   A       B        A . B

      A                 A . B                                   0        0          0

                                                                   0        1          0

                                                                   1        0          0

      B                                                           1        1          1

Operasi logika OR

Operasi antara 2 variabel (A,B)

Operasi ini akan menghasilkan logika 0, jika kedua variabel tersebut berlogika 0.

Simbol                                                         Tabel Operasi OR

A                 A + B                                       A       B        A + B

                                                                   0        0            0   

                                                                   0        1            1                      

B                                                                 1        0            1

                                                                   1        1            1

Operasi logika NOR

Operasi ini merupakan operasi OR dan NOT, keluarannya merupakan keluaran operasi OR yang di inverter.

Simbol                                                         Tabel Operasi NOR

A                 A + B           ( A + B )’                A       B     ( A + B)’

                                                                   0        0            1   

                                                                   0        1            0                      

B                                                                 1        0            0

                                                                   1        1            0

Atau

A                   ( A + B )’             

                                                         

                                                                                               

B                                   

Operasi logika NAND

Operasi logika ini merupakan gabungan operasi AND dan NOT, Keluarannya merupakan keluaran gerbang AND yang di inverter.

Simbol                                                         Tabel Operasi NAND

A                 A . B            ( A . B )’                 A       B     ( A . B)’

                                                                   0        0            1   

                                                                   0        1            1                      

B                                                                 1        0            1

                                                                   1        1            0

Atau

A                   ( A . B )’              

                                                         

                                                                                               

B                                   

Operasi logika EXOR

akan menghasilkan keluaran ‘1’ jika jumlah masukan yang bernilai ‘1’ berjumlah ganjil.

Simbol                                                         Tabel Operasi EXOR

A                       Y                                       A       B        A + B

                                                                   0        0            0   

                                                                   0        1            1                      

B                                                                 1        0            1

                                                                   1        1            0

Operasi logika EXNOR

Operasi ini akan menghasilkan keluaran ‘1’ jika jumlah masukan yang bernilai ‘1’ berjumlah genap atau tidak ada sama sekali.

Simbol                                                         Tabel Operasi EXNOR

A                       Y                                       A       B        A + B

                                                                   0        0            1   

                                                                   0        1            0                      

B                                                                 1        0            0

                                                                   1        1            1

DALIL BOOLEAN ;

1.     X=0 ATAU X=1

2.    0 . 0 = 0

3.    1 + 1 = 1

4.    0 + 0 = 0

5.    1 . 1 =  1

6.    1 . 0 = 0 . 1 = 0

7.    1 + 0 = 0 + 1 = 0

TEOREMA BOOLEAN

1. HK. KOMUTATIF A + B = B + A A .  B = B  . A	6. HK. IDENTITAS A + A = A A  . A = A
2. HK. ASSOSIATIF (A+B)+C = A+(B+C) (A.B) . C = A . (B.C)	7. 0 + A = A ----- 1. A = A 1 + A = 1 ----- 0 . A = 0
3. HK. DISTRIBUTIF A . (B+C) = A.B + A.C A + (B.C) = (A+B) . (A+C)	8. A’ + A = 1 A’ .  A  =0
4. HK. NEGASI ( A’ ) = A’ (A’)’  = A	9. A + A’ . B = A + B A . (A + B)= A . B
5. HK. ABRSORPSI A+ A.B  = A A.(A+B) = A	10. DE MORGAN’S ( A+ B )’  = A’ . B’ ( A . B )’  = A’ + B’

CONTOH :

1.     A  + A . B’ + A’ .  B      =  A . ( 1 + B’ ) + A’ . B

          =  A . 1 + A’ . B

          =  A + A’ . B

          =  A + B

2.        A

           B

 

                                                                               X

          X = (A.B)’ . B          =  (A’ + B’) . B

                                      = ( A.B )’ + B’.B

                                      = ( A.B )’ + 0

                                      = A’.B

     A

 

    B

 

                                                                             X = A’.B

ATAU

      A                                        X = A’.B

      B

Aljabar Boolean

·         Misalkan terdapat

-          Dua operator biner: + dan ×

-          Sebuah operator uner: ’.

-          B : himpunan yang didefinisikan pada opeartor +, ×, dan ’

-          0 dan 1 adalah dua elemen yang berbeda dari B.

Tupel

                        (B, +, ×, ’)

disebut aljabar Boolean jika untuk setiap a, b, c Î B berlaku aksioma-aksioma atau postulat Huntington berikut:

1. Closure:                     (i)  a + b Î B   

                                    (ii) a × b Î B     

2. Identitas:     (i)  a + 0 = a

                                    (ii) a × 1 = a

                                   

3. Komutatif:    (i)  a + b = b + a

                                                (ii)  a × b = b . a

4. Distributif:   (i)   a × (b + c) = (a × b) + (a × c)

                                                (ii)  a + (b × c) = (a + b) × (a + c)

                                   

5. Komplemen[1]:  (i)  a + a’ = 1

                                                (ii)  a × a’ = 0

• Untuk mempunyai sebuah aljabar Boolean, harus diperlihatkan:

1.     Elemen-elemen himpunan B,

2.     Kaidah operasi untuk operator biner dan operator uner,

3.     Memenuhi postulat Huntington.

Aljabar Boolean Dua-Nilai

Aljabar Boolean dua-nilai:

-          B = {0, 1}

-          operator biner, + dan ×

-          operator uner, ’

-          Kaidah untuk operator biner dan operator uner:

a	B	a × b		a	b	a + b		a	a’
0	0	0		0	0	0		0	1
0	1	0		0	1	1		1	0
1	0	0		1	0	1
1	1	1		1	1	1

Cek apakah memenuhi postulat Huntington:

1.     Closure :  jelas berlaku

2.     Identitas: jelas berlaku karena dari tabel dapat kita lihat bahwa:

(i)  0 + 1 = 1 + 0 = 1

(ii) 1 × 0  = 0 × 1 = 0

3.     Komutatif:  jelas berlaku dengan melihat simetri tabel operator biner.

4.       Distributif: (i) a × (b + c) = (a × b) + (a × c) dapat ditunjukkan benar dari tabel operator biner di atas  dengan membentuk tabel kebenaran:

a	b	c	b + c	a × (b + c)	a × b	a × c	(a × b) + (a × c)
0	0	0	0	0	0	0	0
0	0	1	1	0	0	0	0
0	1	0	1	0	0	0	0
0	1	1	1	0	0	0	0
1	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	1	1	0	1	1
1	1	0	1	1	1	0	1
1	1	1	1	1	1	1	1

(ii) Hukum distributif a + (b × c) = (a + b) × (a + c) dapat ditunjukkan benar dengan membuat tabel kebenaran dengan cara yang sama seperti (i).

5.     Komplemen: jelas berlaku karena Tabel 7.3 memperlihatkan bahwa:

    (i)  a + a‘ = 1, karena 0 + 0’= 0 + 1 = 1 dan 1 + 1’= 1 + 0 = 1

    (ii) a × a = 0, karena 0 × 0’= 0 × 1 = 0 dan 1 × 1’ = 1 × 0 = 0 

Karena kelima postulat Huntington dipenuhi, maka terbukti bahwa B = {0, 1} bersama-sama dengan operator biner + dan × operator komplemen ‘ merupakan aljabar Boolean.

Ekspresi Boolean

• Misalkan (B, +, ×, ’) adalah sebuah aljabar Boolean. Suatu ekspresi Boolean dalam (B, +, ×, ’) adalah:

(i)   setiap elemen di dalam B,

(ii)  setiap peubah,

(iii) jika e₁ dan e₂ adalah ekspresi Boolean, maka e₁ + e₂, e₁ × e₂, e₁’ adalah ekspresi Boolean

 

Contoh:

                        0

                        1

                        a

                        b

                        c

                        a + b

                        a × b

                        a’× (b + c)

                        a × b’ + a × b × c’ + b’, dan sebagainya

Mengevaluasi Ekspresi Boolean

• Contoh:  a’× (b + c)

 jika a = 0, b = 1, dan c = 0, maka hasil evaluasi ekspresi:

                        0’× (1 + 0) = 1 × 1 = 1

• Dua ekspresi Boolean dikatakan ekivalen (dilambangkan dengan ‘=’) jika keduanya mempunyai nilai yang sama untuk setiap pemberian nilai-nilai kepada n peubah.

Contoh:

                        a × (b + c) = (a . b) + (a × c)

Contoh. Perlihatkan bahwa a + a’b = a + b .

Penyelesaian:

 

a	b	a’	a’b	a + a’b	a + b
0	0	1	0	0	0
0	1	1	1	1	1
1	0	0	0	1	1
1	1	0	0	1	1

• Perjanjian: tanda titik (×) dapat dihilangkan dari penulisan ekspresi Boolean, kecuali jika ada penekanan:

(i)              a(b + c) = ab + ac

(ii)                  a + bc = (a + b) (a + c)

(iii)                 a × 0 , bukan a0

           

Prinsip Dualitas

• Misalkan S adalah kesamaan (identity) di dalam aljabar Boolean yang melibatkan operator +,  ×, dan komplemen, maka jika pernyataan S* diperoleh dengan cara mengganti

                        ×   dengan  +

            +  dengan  ×

                        0  dengan  1

            1  dengan  0

dan membiarkan operator komplemen tetap apa adanya, maka kesamaan S* juga benar. S* disebut sebagai dual dari S.

Contoh. 

(i)   (a × 1)(0 + a’) = 0  dualnya (a + 0) + (1 × a’) = 1

(ii)  a(a‘ + b) = ab       dualnya a + a‘b = a + b

Hukum-hukum Aljabar Boolean

1.    Hukum identitas: (i)      a + 0 = a (ii)  a × 1 = a	2.   Hukum idempoten: (i)     a + a = a (ii)  a × a = a
3.   Hukum komplemen: (i)      a + a’ = 1 (ii)  aa’ = 0	4.   Hukum dominansi: (i)      a × 0  = 0 (ii)   a + 1 = 1
5.   Hukum involusi: (i)   (a’)’ = a	6.   Hukum penyerapan: (i)      a + ab = a (ii)  a(a + b) = a
7.   Hukum komutatif: (i)      a + b = b + a (ii)   ab = ba	8.   Hukum asosiatif: (i)      a + (b + c) = (a + b) + c (ii)   a (b c) = (a b) c
9.   Hukum distributif: (i)   a + (b c) = (a + b) (a + c) (ii) a (b + c) = a b + a c	10.  Hukum De Morgan: (i)   (a + b)’ = a’b’ (ii) (ab)’ = a’ + b’
11.   Hukum 0/1   (i)   0’ = 1        (ii)  1’ = 0

Contoh 7.3. Buktikan (i) a + a’b = a + b   dan   (ii) a(a’ + b) = ab

Penyelesaian:

            (i)         a + a’b   = (a + ab) + a’b              (Penyerapan)

                                    = a + (ab + a’b)              (Asosiatif)

                                    = a + (a + a’)b                (Distributif)

                                    = a + 1 · b                     (Komplemen)

                                    = a + b                          (Identitas)

(ii) adalah dual dari (i)

Fungsi Boolean

·         Fungsi Boolean (disebut juga fungsi biner) adalah pemetaan dari Bⁿ ke B melalui ekspresi Boolean, kita menuliskannya sebagai

                        f : Bⁿ ® B

yang dalam hal ini Bⁿ adalah himpunan yang beranggotakan pasangan terurut ganda-n (ordered n-tuple) di dalam daerah asal B.

·         Setiap ekspresi Boolean tidak lain merupakan fungsi Boolean.

·         Misalkan sebuah fungsi Boolean adalah

f(x, y, z) = xyz + x’y + y’z

Fungsi f memetakan nilai-nilai pasangan terurut ganda-3

(x, y, z) ke himpunan {0, 1}.

Contohnya, (1, 0, 1) yang berarti x = 1, y = 0, dan z = 1

sehingga f(1, 0, 1) = 1 × 0 × 1 + 1’ × 0 + 0’× 1 = 0 + 0 + 1 = 1 .

Contoh.  Contoh-contoh fungsi Boolean yang lain:

1.     f(x) = x

2.     f(x, y) = x’y + xy’+ y’

3.     f(x, y) = x’ y’

4.     f(x, y) = (x + y)’

5.     f(x, y, z) = xyz’                                                                                                                  

·         Setiap peubah di dalam fungsi Boolean, termasuk dalam bentuk komplemennya, disebut literal.

Contoh: Fungsi h(x, y, z) = xyz’ pada contoh di atas terdiri dari 3 buah literal, yaitu x, y, dan z’.

Contoh. Diketahui fungsi Booelan f(x, y, z) = xy z’, nyatakan h dalam tabel kebenaran.

Penyelesaian:

  

x	y	z	f(x, y, z) = xy z’
0 0 0 0 1 1 1 1	0 0 1 1 0 0 1 1	0 1 0 1 0 1 0 1	0 0 0 0 0 0 1 0

                                                                       

Komplemen Fungsi

1.     Cara pertama: menggunakan hukum De Morgan

Hukum De Morgan untuk dua buah peubah, x₁ dan x₂, adalah 

                   

Contoh. Misalkan f(x, y, z) = x(y’z’ + yz), maka

    f ’(x, y, z)  = (x(y’z’ + yz))’

                           =  x’ + (y’z’ + yz)’

                            =  x’ + (y’z’)’ (yz)’

                       =  x’ + (y + z) (y’ + z’)

Aplikasi Aljabar Boolean

2. Rangkaian Digital Elektronik

        Gerbang AND                          Gerbang OR                           Gerbang NOT  (inverter)

Contoh. Nyatakan fungsi f(x, y, z) = xy + x’y ke dalam rangkaian logika.

Jawab:  (a) Cara pertama

(b) Cara kedua

(b) Cara ketiga

 

Gerbang turunan

Gerbang NAND                                    Gerbang XOR      

Gerbang NOR                                       Gerbang XNOR

Penyederhanaan Fungsi Boolean

Contoh.            f(x, y) = x’y + xy’ + y’

disederhanakan menjadi

f(x, y) = x’ + y’

Penyederhanaan fungsi Boolean dapat dilakukan dengan 3 cara:

1.     Secara aljabar

2.     Menggunakan Peta Karnaugh

3.     Menggunakan metode Quine Mc Cluskey (metode Tabulasi)

1. Penyederhanaan Secara Aljabar

Contoh:

1.     f(x, y) = x + x’y

      = (x + x’)(x + y)

 = 1 × (x + y )

 = x + y

2.     f(x, y, z) = x’y’z + x’yz + xy’

 = x’z(y’ + y) + xy’

 = x’z + xz’

3.     f(x, y, z) = xy + x’z + yz  = xy + x’z + yz(x + x’)

        = xy + x’z + xyz + x’yz

                                                        = xy(1 + z) + x’z(1 + y) = xy + x’z

---

Posted in: